范畴论

2.3 函子的第二定义
由于在任何范畴中对象的类和恒等态射的类之间存在双射（由 \(A \mapsto \text {id}_A\) 给出） ，以及在范畴中恒等态射可以通过它们相对于组合的行为来表征，因此可以得到一个“无对象”的范畴定义。下面给出的这个定义在形式上比原始定义简单，并且 在“本质上”等价于原始定义。之所以选择原始定义，是因为它与范畴的标准示例联系更紧密。

定义 2.7

  • 1. 部分二元代数：部分二元代数是指一个二元组 \((X, ∗)\)，包括一个类 \(X\) 和 \(X\) 上的一个部分二元操作 \(∗\)，即在 \(X \times X\) 的一个子类上定义的二元操作。记作 \(x ∗ y\)。

  • 2. 部分二元代数的单位：如果 \((X, ∗)\) 是一个部分二元代数，那么 \(X\) 的元素 \(u\) 被称为 \((X, ∗)\) 的单位，只要 \(x ∗ u\) 被定义时，都有 \(x ∗ u = x\)，以及只要 \(u ∗ y\) 被定义时，都有 \(u ∗ y = y\)。

定义 2.8

一个无对象的范畴是一个部分二元代数 \(C = (M, \circ )\)，其中 \(M\) 的成员被称为态射，满足以下条件：

  • 1. 匹配条件：对于态射 \(f, g, h\)，以下条件等价：

    • (a) \(g \circ f\) 和 \(h \circ g\) 被定义，

    • (b) \(h \circ (g \circ f)\) 被定义，

    • (c) \((h \circ g) \circ f\) 被定义。

  • 2. 结合性条件：如果态射 \(f, g, h\) 满足匹配条件，则 \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\)。

  • 3. 单位存在条件：对于每个态射 \(f\)，存在 \(M\) 的元素 \(u_C\) 和 \(u_D\)，使得 \(u_C \circ f\) 和 \(f \circ u_D\) 被定义。

  • 4. 小性条件：对于 \(M\) 的元素对 \((u_1, u_2)\)，类 \(\text {hom}(u_1, u_2) = \{f \in M \mid f \circ u_1 \text { 和} u_2 \circ f \text { 被定义}\}\) 是一个集合。

命题 2.7

如果 \(A\) 是一个范畴，则：

  • 1. \((\text {Mor}(A), \circ )\) 是一个无对象的范畴。

  • 2. 一个 \(A\) -态射是 \(A\) -单位当且仅当它是 \((\text {Mor}(A), \circ )\) 的单位。

  • 证明. \((\text {Mor}(A), \circ )\) 显然是一个部分二元代数，其中 \(f \circ g\) 有定义当且仅当 \(f\) 的定义域是 \(g\) 的共轭域。因此，每个 \(A\) -单位都是一个单位。如果 \(A \xrightarrow {u} B\) 是 \((\text {Mor}(A), \circ )\) 的单位， 则 \(u = u \circ \text {id}_A = \text {id}_A\)，其中第一个等式由 \(\text {id}_A\) 是 \(A\) -单位保证，第二个等式由 \(u\) 是单位保证。因此，命题的第二部分得证，第一部分是显然的。□