范畴论

5.3 函子范畴

定义 5.5

设\(F,G,H:\mathbf {A}\to \mathbf {B}\)，函子间自然变换\(\sigma :F\to G,\tau :G\to H\)。定义 自然变换的复合 :\(\tau \circ \sigma :F\to H\)，对任意的\(\mathbf {A}\)-对象 \(A\)，满足:

\[ \tau _{A} \circ \sigma _{A}:F(A)\to H(A) \]

有了自然变换复合的定义之后，我们就可以顺势定义 函子范畴 。

定义 5.6

范畴\(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 之间的所有函子组成一个范畴:\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\):

  • 1. 对象是函子

  • 2. 态射是自然变换

  • 3. 单位态射是单位自然变换

  • 4. 态射的复合是自然变换的复合，满足结合律

注释 5.1：

  • (1) 如果\(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 是小范畴，\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 是范畴；如果\(\mathbf {A}\) 是小范畴，\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 是 真拟范畴 (proper quasicategory)，同构于某一范畴；同构于范畴的拟范畴称为 合法拟范畴 (legitimate quasicategories)；如果\(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 都不是小范畴，此时\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 不是范畴，称为 illegitimate。

  • (2) \(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 之间的 自然变换 是 自然同构 ， 当且仅当 其在\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 是 同构态射 。

例子：

  • 1. 如果\(\mathbf {A}\) 是离散范畴，只有一个对象，\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 同构于\(\mathbf {B}\)。

  • 2. 如果\(\mathbf {A}\) 是离散范畴，只有两个对象，\([\mathbf {A},\mathbf {B}]\) 同构于\(\mathbf {B}\times \mathbf {B}\)。

  • 3. \([\mathbf {2},\mathbf {B}]\) 同构于\(\mathbf {B}\) 的箭头范畴。

  • 4. \(M\) 是一个幺半群范畴，\([\mathbf {M},\mathbf {Set}]\) 同构于\(M\)-act 群作用范畴。

命题 5.3

对于任意函子\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {Set}\)，\(\mathbf {A}\)-对象\(A\), 任意元素\(a \in F(A)\)，存在唯一的自然变换:

\[\tau :\text {hom}(A,-)\to F,\text {满足}\tau _{A}(id_{A})=a\]

  • 证明.

    □

引理 5.1： YONEDA LEMMA

设有函子\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {Set}\)，\(\mathbf {A}\)-对象\(A\)，则存在一个双射:

\[ Y:[\text {hom}(A,-),F]\to F(A) \]

\([\text {hom}(A,-),F]\) 表示\(\text {hom}(A,-)\) 与\(F\) 之间的自然变换集合。

定理 5.1

对任意范畴\(\mathbf {A}\)，函子\(F:\mathbf {A}\to [\mathbf {A}^{\text {op}},\mathbf {Set}]\) 满足:

\[ E(A\xrightarrow {f}B)=\text {hom}(-,A)\xrightarrow {\sigma _f}\text {hom}(-,B) \]

其中\(\sigma _f(g)=f\circ g\), 是一个 全嵌入 。

  • 证明.

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