范畴论

定义 4.2

设 \((\mathbf {A} ,U)\) 是关于 \(\mathbf {X}\) 的具体范畴。\(\mathbf {X}\) - 对象 X 的纤维是由满足 \(U(A) = X\) 的所有 \(\mathbf {A}\)- 对象 \(A\) 组成的 预序类 ，序关系由以下条件决定：

1. \(A \leq B\) 当且仅当 \(\text {id}_X : UA \to UB\) 是 \(\mathbf {A}\)- 态射。
2. 如果 \(A \leq B\) 且 \(B \leq A\)，则称 \(\mathbf {A}\)- 对象 \(A\) 和 \(B\) 是等价的。
3. 若其纤维是偏序类，即任意两个 \(\mathbf {A} \)- 对象都不等价，则称 \((\mathbf {A} ,U)\) 是 健忘的 （amnestic）。
4. 若每个纤维都是小的，即是一个预序集，称 \((\mathbf {A} ,U)\) 是 纤维小的 （fibre-small）。

例子：

1. 如果\(\mathbf {A} = \mathbf {Rel}\)，那么对于集合\(X\) 上的两个关系\(\rho _1,\rho _2\) 有：

\[\rho _1 \leq \rho _2 \Leftrightarrow \rho _1 \subseteq \rho _2\]
2. 如果\(\mathbf {A} = \mathbf {Met}\)，那么对于集合\(X\) 上的两个度量\(d_1,d_2\) 有：

\[d_{1} \leq d_2 \Leftrightarrow \forall (x,y)\in X\times X,d_{2}(x,y) \subseteq d_{1}(x,y)\]
3. 如果\(\mathbf {A} = \Sigma \)-\(\mathbf {Seq}\)，那么对于集合\(Q\) 上的两个接受子\((Q, \delta , q_0, F),(Q, \delta ', q'_0, F')\) 有：

\[(\delta ', q_0, F) \leq (\delta ', q'_0, F')\Leftrightarrow \delta =\delta ',q_0=q'_0,F \subseteq F'\]
4. 如果\(\mathbf {A} = \mathbf {Top}\)，那么对于集合\(X\) 上的两个拓扑结构\(\tau _1,\tau _2\) 有：

\[\tau _1 \leq \tau _2 \Leftrightarrow \tau _1 \subseteq \tau _2\]
5. 如果\(\mathbf {A} = \mathbf {Vec}\)，那么对于集合\(X\) 上的两个向量空间结构\(\nu _1,\nu _2\) 有：

\[\nu _1 \leq \nu _2 \Leftrightarrow \nu _1 = \nu _2\]

注释 4.1：具体范畴\((\mathbf {A} ,U)\) 是 健忘的 当且仅当函子\(U\) 是 健忘的 , 尽管大多数熟知的具体范畴是 健忘的 和 纤维小的 ，但是：

1. 不存在真类，将其看作是 1 上的具体范畴时，它是纤维-小的。拟拓扑空间的拟构造的纤维甚至不是预序类，而是真聚合体。这种说法源于这样一个事实，即对于每个至少有两个点的集合 X，X 的纤维不能与宇宙\(\mathcal {U}\) 的任何子类建立双射对应。
2. 构造体 \(\mathbf {Ban_b}\) 和 \(\mathbf {Met_c}\) 不是健忘的。在后续命题，我们将看到每个在 \(\mathbf {X} \) 上的具体范畴 \((\mathbf {A} ,U)\) 都有一个相关的“健忘变体”，其在多数方面行为与 \((\mathbf {A} ,U)\) 相同。

定义 4.3

具体范畴被称为：

命题 4.1

在 \(\mathbf {X} \) 上的具体范畴 \((\mathbf {A} ,U)\) 被称为 纤维离散 ，当且仅当函子 U 反映恒等性质（即如果 \(U(k)\) 是 \(\mathbf {X}\)-恒同态射，则 \(k\) 必须是 \(\mathbf {A} \)-恒同态射）。