范畴论

1.6 同构态射

定义 1.5

在一个范畴中，如果存在一个态射 \(f: A \to B\)，使得存在一个态射 \(g: B \to A\)，满足 \(g \circ f = \text {id}_A\) 和 \(f \circ g = \text {id}_B\)，则称 \(f\) 是一个同构态射。这样的态射 \(g\) 被称为 \(f\) 的逆。

注释 1.1： 从上述定义可以清楚地看出，”\(f\) 是同构态射” 的陈述是自对偶的；即，\(f\) 在范畴 \(A\) 中是同构映射，当且仅当 \(f\) 在 \(A^{op}\) 中是同构态射。

命题 1.1

如果 \(f: A \to B\)，\(g: B \to A\)，\(h: B \to A\) 是范畴 \(A\) 中的态射，且 \(g \circ f = \text {id}_A\) 和 \(f \circ h = \text {id}_B\) 成立，则 \(g = h\)。

  • 证明. \(h = \text {id}_A \circ h = (g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h) = g \circ \text {id}_B = g.\) □

推论 1.1: 如

\(g_1\) 和 \(g_2\) 是同一个态射 \(f\) 的逆，则 \(g_1 = g_2\)。

注释 1.2： 根据上述推论，我们可以称同构态射 \(f\) 的逆为 \(f^{-1}\)。

例子：

  • 1. 每个恒等态射 \(\text {id}_A\) 都是同构态射，且 \((\text {id}_A)^{-1} = \text {id}_A\)。

  • 2. 在集合范畴 \(\text {Set}\) 中，同构态射就是双射；在向量空间范畴 \(\text {Vect}\) 中，它们就是线性同构映射；在群范畴 \(\text {Grp}\) 中，它们就是群同构映射；在拓扑空间范畴 \(\text {Top}\) 中，它们就是同胚映射；在关系范畴 \(\text {Rel}\) 中，它们就是关系同构映射。需要注 意的是，在所有这些情况下，每个同构态射都是双射，但反之则只有在集合、向量空间和群的情况下成立，而在关系和拓扑的情况下不成立。

  • 3. 在 \(\text {Ban}_b\) 中，同构态射就是线性同胚映射；而在 \(\text {Ban}\) 中，同构态射就是保范线性双射。

  • 4. 在矩阵范畴 \(\text {Mat}\) 中，同构态射就是正定矩阵，即行列式非零的方阵。

  • 5. 在自动机范畴 \(\text {Aut}\) 中，一个态射 \((f_Q, f_{\Sigma }, f_Y)\) 是同构态射，当且仅当其中的每个映射 \(f_Q, f_{\Sigma }, f_Y\) 都是双射。

  • 6. 在单子范畴中，每个态射都是同构态射当且仅当单子是一个群。

命题 1.2

  • 1. 如果 \(A\xrightarrow {f} B\) 是同构态射，则 \(B \xrightarrow {f^{-1}} A\) 也是同构态射，且 \((f^{-1})^{-1} = f\)。

  • 2. 如果 \(A \xrightarrow {f} B\) 和 \(B \xrightarrow {g} C\) 都是同构态射，则 \(A \xrightarrow {g \circ f} C\) 也是同构态射，且 \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\)。

  • 证明.

    • 1. 直接根据逆和同构映射的定义得出。

    • 2. 利用结合律和逆的定义，有：\((g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ \text {id}_B \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \text {id}_C\)，以及 \((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \text {id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \text {id}_A\)。

    □

定义 1.6

在一个范畴中，如果存在同构态射 \(f: A \to B\)，则称对象 \(A\) 和 \(B\) 是同构的。

注释 1.3： 对于任意范畴 \(A\)，” 与之同构” 显然构成 \(\text {Ob}(A)\) 上的等价关系（从恒同态射是同构态射的事实可以得出自反性，而对称性和传递性可通过上述命题直接得到），同构的对象通常被认为是” 本质上相同的”。