范畴论

在范畴论中，子范畴是一种重要的结构，它提供了在给定范畴中局部研究某些对象和态射的方式。下面我们讨论子范畴与含入函子的关系。

对于范畴 \(B\) 的每个子范畴 \(A\)，都存在一个自然关联的含入函子 \(E: A \hookrightarrow B\)。对于含入函子我们不难证明：

命题 3.1

1. 一个从范畴 A 到 B 的函子 F 是一个 （全）嵌入 （embedding），当且仅当存在范畴 B 的一个 （全）子范畴 C， 含入函子 E : C \(\hookrightarrow \) B 和一个 同构函子 G : A → C，使得 F = E \(\circ \) G。换句话说，以下图标交换：

\[ \begin {array}{ccc} A & \overset {F}{\longrightarrow } & B \\ \downarrow & & \uparrow _{E} \\ A & \underset {G}{\longrightarrow } & D \\ \end {array} \]
2. 一个从范畴 A 到 B 的函子 F 是 忠实的 ，当且仅当存在嵌入 \(E_{1}: D \to B\) 和 \(E_{2} : A \to C\)，以及一个 等价函子 \(G : C \to D\)，使得下面的图表交换：

\[ \begin {array}{ccc} A & \overset {F}{\longrightarrow } & B \\ \downarrow _{E_{1}} & & \uparrow _{E_{2}} \\ C & \underset {G}{\longrightarrow } & D \\ \end {array} \]

定义 3.2

我们说范畴 A 是范畴 B 的全嵌入，如果存在一个全嵌入函子 \(A\to B\) 或者范畴 A 同构于范畴 B 的一个全子范畴。

注释 3.1：

因为全子范畴是由其对象类别确定的，它们通常被视为” 对象的属性”。由于大多数有趣的属性 P 满足这样的条件，即当对象 A 具有属性 P 时，与 A 同构的每个对象也具有 P，我们通常要求全子范畴具有以下定义的” 同构封闭 ” 属性。

定义 3.3

一个范畴 B 的全子范畴 A 被称为：

这两个概念反映了同构的局部性和整体性，同构封闭关注的是同构关系下对象的结构保持；同构稠密关注的是每个对象都有同构对应的情况，不一定要求在结构上保持。

注释 3.2：

如果 A 是 B 的全子范畴，则以下条件等价：

例子：

在集合范畴 Set 中，以自然数集 N 为单一对象的全子范畴既不是同构封闭的也不是同构稠密的，它与由所有可数无穷集合组成的全子范畴等价，这个全子范畴在 Set 上是同构封闭的。有时我们希望考虑这样的全子范畴，其中任意两个对象都不同构。

定义 3.4

一个范畴的骨架是一个同构稠密的全子范畴，其中任意两个对象都不同构。

例子：

命题 3.2

推论 3.1

两个范畴等价当且仅当它们的骨架同构.