范畴论

5.2 自然同构

定义 5.3

设\(F,G\) 为范畴\(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 之间的函子:

  • 1. 如果自然变换\(\tau :F\to G\) 的 元素 \(\tau _A\) 是 同构 时，\(\tau \) 称为 自然同构

  • 2. 此时我们说\(F\) 与\(G\) 是 自然同构的 ，记为\(F\cong G\)

例子：

  • (1) 自然变换的单位元

    对于每个函子 \(F: \mathbf {A} \to \mathbf {B}\)，我们有在 \(F\) 上的单位自然变换 \(id_F: F \to F\)，定义为 \((id_F)_A = id_{FA}\)，显然是一个自然同构。

  • (2) 从集合到向量空间的函子

    设 \(F: \textbf {Set} \to \textbf {Vec}\) 是一个将每个集合 \(X\) 映射到具有基 \(X\) 的向量空间 \(FX\) 的函子，对于每个函数 \(X \xrightarrow {f} Y\)，其线性扩展是 \(FX \xrightarrow {Ff} FY\)。尽管这个定义在选择不同的具有相同基的向量空间时是不准确的，但这在“自然同构”意义 上是可接受的。只要我们为每个集合 \(X\) 选择一个特定的具有基 \(X\) 的向量空间 \(FX\)，我们就得到了一个函子 \(F: \textbf {Set} \to \textbf {Vec}\)（因为上述条件唯一确定了 \(F\) 对函数的作用）。此外，以这种方式获得的任何两个函子都是自然同构的。

  • (3) 二阶对偶函子

    从向量空间范畴的恒等函子到二阶对偶函子的自然变换 \(\theta : id_{\textbf {Vec}} \to (\hat {\hat {\ }})\)，在限制到有限维向量空间的全子范畴时变成了自然同构。

  • (4) 自然同构和平方函子

    对于任何二元集合 \(A\)，\(\text {hom}(A,-)\) 自然同构于平方函子 \(S^2\) ，而 \(\text {hom}(-,A)\) 自然同构于反变幂集函子 \(Q\) 。

  • (5) hom 函子上的同构与自然同构

    如果 \(f\) 是一个态射，且 \(\tau _f\) 和 \(\sigma _{f}\) 分别是 hom 函子上与它关联的自然变换的话，那么以下说法等价：

    • (a) \(f\) 是同构，

    • (b) \(\tau _f\) 是自然同构，

    • (c) \(\sigma _{f}\) 是自然同构。

    因此，如果 \(A\) 和 \(B\) 是同构的对象，那么 \(\text {hom}(A,-)\) 和 \(\text {hom}(B,-)\) 是自然同构的函子，\(\text {hom}(-,A)\) 和 \(\text {hom}(-,B)\) 也是自然同构的。反之亦然。

命题 5.1

如果范畴\(\mathbf {A}\) 是范畴\(\mathbf {B}\) 的 反射子范畴 ，那么任意两个关于范畴\(\mathbf {A}\) 的 反射子 是 自然同构 的。

  • 证明. 设\(R,S\) 为范畴\(\mathbf {A}\) 的反射函子，反射箭头\(B\xrightarrow {r_B}RB,B\xrightarrow {s_B}SB\), 那么存在\(\mathbf {A}\)-态射\(RB\xrightarrow {f_B}SB,SB\xrightarrow {g_B}RB\), 使得以下图表交换:

    \[ \xymatrix { B \ar [r]^{r_B} \ar [rd]_{s_B} & RB \ar [d]^{f_B} &\ar @{}[d]|{\text {and}} &B \ar [r]^{s_B} \ar [rd]_{r_B} & SB \ar [d]^{g_B}\\ & SB & &&RB } \]

    从反射箭头的唯一性可知:\(g_B \circ f_B = id_{RB},f_B \circ g_B = id_{SB}\), 故\(f_B\) 是同构态射。考虑态射族\((f_B)_{B\in Ob_\textbf {A}}\)，如果我们能证明此态射族是自然变换，命题得证。注意到以下图表交换:

    \[ \xymatrix { B\ar [r]^{s_B}\ar [d]_{f}&SB \ar [d]^{Sf}&\ar @{}[d]|{=} &B\ar [r]^{r_B}\ar [d]_{f} &RB\ar [r]^{f_B}\ar [d]_{Rf} &SB \ar [d]^{Sf}\\ B'\ar [r]_{r_B'}&SB' & &B'\ar [r]_{s_B'} &RB'\ar [r]_{f_B'} &SB' } \]

    自然就证明了该命题。□

在前面关于范畴等价性的讨论中我们有: 如果函子\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {B}\) 是一个等价函子，那么存在函子\(G:\mathbf {B}\to \mathbf {A}\) 是等价的。现在利用自然同构，我们可以深入探讨这个结论。

命题 5.2

函子\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {B}\) 是一个等价函子 当且仅当 存在函子\(G:\mathbf {B}\to \mathbf {A}\)，使得\(id_{\mathbf {A}}\cong G\circ F\text { and } id_{\mathbf {B}}\cong F\circ G\)。

  • 证明.

    □

定义 5.4

函子\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {B}\) 是 可表示的 ，如果\(F\cong \text {hom}(A,-)\)，其中\(\text {hom}(A,-):\mathbf {A}\to \mathbf {Set}\)

例子：

  • 1. 遗忘函子通常是可表示的:

    • (a) \(\mathbf {Vec}\to \mathbf {Set}\) 被向量空间\(\mathbb {R}\) 表示；

    • (b) \(\mathbf {Grp}\to \mathbf {Set}\) 被整数群\(\mathbb {Z}\) 表示；

    • (c) \(\mathbf {Top}\to \mathbf {Set}\) 被单点拓扑空间表示；

  • 2. \(\mathbf {Seq}\)-\(\Sigma \) 的遗忘函子不可表示。