范畴论

1.3 公理集合论
关于公理集合论的介绍，其实我很纠结，一方面是内容繁多，涉及数理逻辑证明，寥寥几句解释不清楚。另一方面范畴论研究的数学对象往往比集合大得多，为了避免悖论，大家会从 Russell Paradox 切入，引入 Class 的概念；或者使用 Grothendieck Universe 来允许我们在朴素集合论的框架内表达范畴论的一些基本概念，而不引入类的概念。为了叙述的连贯性考虑，这里简单介绍一些集合论的知识，读者不必担心，很好理解。
1.3.1 集合

定义 1.1

集合是一个数学对象，下面给出集合的构造方法：

  • 1. 特定性原理：假设 A 是一个集合，P 是 A 满足的某个性质，则 \(a \in A \mid P(a)\) 是一个集合。

  • 2. 幂集：假设 A 是一个集合，则 \(A' \mid A' \subseteq A\) 是一个集合，称为 A 的幂集。

  • 3. 其他集合的构造：对于集合 A 和 B，我们能构造如下集合：

    • (a) 两个元素的集合：A, B，表示集合包含元素 A 和 B 的集合。

    • (b) 有序对 (A, B)，表示按照顺序排列的元素对，即元素 A 在前，元素 B 在后。

    • (c) 集合的交：\(A \cap B\)，表示同时属于集合 A 和 B 的元素组成的集合。

    • (d) 集合的并：\(A \cup B\)，表示属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合。

    • (e) 集合的相对补（差）：\(A \setminus B\) 或 \(A - B\)，表示属于集合 A 但不属于集合 B 的元素组成的集合。

    • (f) 笛卡尔乘积：\(A \times B\)，表示由所有形式为 \((a, b)\) 的有序对组成的集合，其中 \(a \in A\) 且 \(b \in B\)。

这些构造方法在集合论中是常见且基础的。很容易地，我们可以推广到针对” 任意多个” (指定一个指标函数 \(f:I\to \uplus _{i\in I} A_i\)，I 为指标集) 集合的相关构造，这里不再赘述。

1.3.2 类

类是一个数学对象，拓展了集合的概念，集合是一个特殊的类，不是集合的类称之为真类 (Proper Class)，前面关于集合的构造描述都可以扩展到类。关于真类，下面是具体的例子：

  • • 全体集合：可以定义全体集合，即所有集合的集合。通常表示为 \(\mathbf {V}\) 或 \(\mathbf {S}\)。

    \[\mathbf {V} = \{ x \mid x = x \}\]

  • • 所有 Ordinal 数的集合：可以定义所有 Ordinal 数的集合。

    \[\mathbf {On} = \{ \alpha \mid \alpha \text { 是一个 Ordinal 数} \}\]

1.3.3 Ordinal 数

在 Zermelo-Fraenkel 集合论中，Ordinal 数是一种数学对象，用于表示集合的排列顺序。Ordinal 数的定义基于集合论的递归构造。

定义 1.2

  • 1. 零（0）是一个 Ordinal 数：：\(0\) 表示空集的排列顺序。

  • 2. 后继 Ordinal 数 \((\alpha + 1)\) 是一个 Ordinal 数：如果 \(\alpha \) 是一个 Ordinal 数，那么 \((\alpha + 1)\) 表示在 \(\alpha \) 的基础上添加一个元素的排列顺序。

  • 3. 极限 Ordinal 数是一个 Ordinal 数：如果 \(S\) 是一个非空的集合，且对于每个 \(\beta \in S\)，都有 \(\beta \) 是一个 Ordinal 数，那么 \(\sup (S)\)（即 \(S\) 的上确界）也是一个 Ordinal 数。

对于 Ordinal 数，我们有如下性质：

  • 1. 整体性质 ：如果 \(\alpha \) 是一个 Ordinal 数，则 \(x \in \alpha \) 当且仅当 \(x\) 是排在 \(\alpha \) 之前的某个元素。

  • 2. 递归性质 ：对于任意 Ordinal 数 \(\alpha \)，集合 \(\alpha \) 是由排在 \(\alpha \) 之前的所有 Ordinal 数构成的。

  • 3. 良序性质 ：集合 \(\alpha \) 被良序，即对于 \(\beta , \gamma \in \alpha \)，要么 \(\beta \in \gamma \)，要么 \(\beta = \gamma \)，要么 \(\gamma \in \beta \)。

例子：

  • 1. \(0, 1, 2, 3, \ldots \) 是自然数构成的 Ordinal 数序列。

  • 2. \(\omega \) 表示所有自然数的集合，是第一个无穷的 Ordinal 数。

  • 3. \(\omega + 1, \omega + 2, \ldots \) 是无穷序列中的后继 Ordinal 数。

  • 4. \(\omega \cdot 2, \omega \cdot 3, \ldots \) 表示 \(\omega \) 的倍数，是无穷序列中的极限 Ordinal 数。

Ordinal 数在集合论中用于描述集合的次序结构，特别是在处理序数性质和集合的良序性时起到关键作用。