范畴论

3 子范畴

3.1 子范畴

在上一节，我们已经举例说明了范畴之间的包含关系（群范畴\(\textbf {Grp}\) 中的交换群范畴\(\textbf {Ab}\), 拓扑空间范畴\(\textbf {Top}\) 中的紧致 Hausdorff 范畴\(\textbf {HComp}\)），这一节我们进一步思考这种关系。

定义 3.1

  • 1. 如果满足以下条件，称范畴 \(\textbf {A}\) 是范畴 \(\textbf {B}\) 的 子范畴

    • (a) \(Ob(\textbf {A}) \subseteq Ob(\textbf {B})\)，

    • (b) 对于每个 \(A, A_0 \in Ob(\textbf {A})\)，\(hom_\textbf {A}(A, A_0) \subseteq hom_\textbf {B}(A, A_0)\)，

    • (c) 对于每个\(\textbf {A}\)-对象\(A\)，范畴\(\textbf {B}\) 中关于 \(A\) 的恒同态射也是范畴 \(\textbf {A}\) 中关于 \(A\) 的恒同态射，

    • (d) 范畴\(\textbf {A}\) 中的复合法则是将范畴\(\textbf {B}\) 中的复合法则限制在 \(\textbf {A}\) 的态射上得到的。

  • 2. 如果除了上述条件外，对于任意 \(A, A_0 \in Ob(\textbf {A})\) 都有 \(hom_\textbf {A}(A, A_0) = hom_\textbf {B}(A, A_0)\)，则称\(\textbf {A}\) 是\(\textbf {B}\) 的 全子范畴 。

注释 3.1：

  • 1. 由于全子范畴的性质，范畴 \(\textbf {B}\) 的全子范畴可以通过在 \(\textbf {B}\) 中指定其对象类别来指定。

  • 2. 请注意，定义的第一部分 (a)，(b)，和 (d) 条件并不蕴含 (c)。(参见练习 4A。)

  • 3. 如果 \(F: \textbf {A} \to \textbf {B}\) 是一个全函子或者在对象上是单射的，那么 \(\textbf {A}\) 在 \(F\) 下的像是 \(\textbf {B}\) 的一个子范畴。然而，对于任意的函子 \(F: \textbf {A} \to \textbf {B}\)，\(F\) 下 \(\textbf {A}\) 的像未必是 \(\textbf {B}\) 的一个子范畴。

例子：

  • 1. 对于任意范畴 \(A\)，空范畴和 \(A\) 本身都是 \(A\) 的全子范畴。

  • 2. 所有 Hausdorff 空间构成 \(\text {Top}\) 的全子范畴 \(\text {Haus}\)；类似地，所有 Tychonoff 空间（即完全正则的 T 1 空间）构成 \(\text {Haus}\) 的全子范畴 \(\text {Tych}\)；\(\text {HComp}\) 是 \(\text {Tych}\) 的全子范畴。

  • 3. 所有预序集合（即配备了自反且传递关系的集合）确定了 \(\text {Rel}\) 的全子范畴 \(\text {Prost}\)。所有偏序集合（即配备了自反、传递和反对称关系的集合）确定了 \(\text {Prost}\) 的全子范畴 \(\text {Pos}\)。由此构成的格范畴 \(\text {Lat}\)，其中格是指每对元素都有 meet 和 join，以及所有保持 meet 和 join 的格同态，是 \(\text {Pos}\) 的非全子范畴。完备格范畴 \(\text {JCPos}\)，包括所有完备格和保持 join 的映射，是 \(\text {Pos}\) 的非全子范畴。完备格范畴 \(\text {CLat}\)，包括所有完备格和保持 meet 和 join 的映射，是 \(\text {JCPos}\) 的非全子范 畴，其对象类别与 \(\text {JCPos}\) 相同。

  • 4. 群范畴 \(\text {Grp}\) 是所有幺半群（即带有单位的半群）和幺半群同态构成的 \(\text {Mon}\) 的全子范畴。\(\text {Mon}\) 是所有半群和半群同态构成的 \(\text {Sgr}\) 的非全子范畴。

  • 5. \(\text {Ban}\) 是 \(\text {Banb}\) 的非全子范畴，其对象类别相同。

  • 6. 作为范畴看待的幺半群 \(M\) 的子范畴，就是空范畴和 \(M\) 的子幺半群。

补充 3.1: 关于格

代数学中，格（Lattice）是一个特殊的代数结构，它包含一个偏序集合，其中任意两个元素都有最小上界（join）和最大下界（meet） 。具体来说，给定一个集合 \(L\) 和其上的偏序关系 \(\leq \)，如果对于任意 \(a, b \in L\)，存在 \(c = a \vee b\) 使得 \(a \leq c\) 且 \(b \leq c\)，以及存 在 \(d = a \wedge b\) 使得 \(d \leq a\) 且 \(d \leq b\)，则称 \((L, \leq )\) 是一个格。这里的符号 \(\vee \) 表示 join（最小上界），符号 \(\wedge \) 表示 meet（最大下界）。这些运算需要满足结合律、交换律以及吸收律等性质。在格中，还可以定义其他重要的概念，比如：

  • 1. 上确界和下确界 ：对于集合 \(S \subseteq L\)，其上确界（supremum，或称为上界）是 \(S\) 中所有元素的最小上界，记作 \(\sup S\)；下确界（infimum，或称为下界）是 \(S\) 中所有元素的最大下界，记作 \(\inf S\)。

  • 2. 完备格 ：如果对于 \(L\) 的任意子集 \(S\)，\(S\) 中的任意非空子集都有上确界和下确界，那么称格 \(L\) 是完备格。

  • 3. 格同态 ：设 \((L, \leq )\) 和 \((L', \leq ')\) 是两个格，一个映射 \(f: L \to L'\) 被称为格同态，如果对于任意 \(a, b \in L\)，有 \(f(a \vee b) = f(a) \vee ' f(b)\) 和 \(f(a \wedge b) = f(a) \wedge ' f(b)\)。