范畴论

4.3 具体函子
正如函子可以被视为抽象范畴之间的自然“态射”一样，具体函子则是具体范畴之间的自然“态射”。

定义 4.4

如果\((\mathbf {A} ,U),(\mathbf {B} ,V)\) 是\(\mathbf {X} \) 上的具体范畴，那么从\((\mathbf {A} ,U)\) 到\((\mathbf {B} ,V)\) 的 具体函子 是\(F:\mathbf {A}\to \mathbf {B}\)，满足\(U=V\circ F\)。

命题 4.2

  • 1. 具体函子是忠实的

  • 2. 具体函子由其对象值唯一确定

  • 3. 全的具体函子下，如果对象恒同，则原像等价

  • 4. 任一全的具体函子是嵌入的，如果 domain 是健忘的

例子：

  • 1. 遗忘函子 Rng → Ab，它“遗忘”了乘法，是从环范畴（和环同态）到交换群范畴的具体函子，这两个范畴都被视为构造体。类似地，遗忘函子 Met → Top（将每个度量空间\((X，d)\) 分配给由度量\(d\) 确定的拓扑空间）和 TopVec → Vec（将每个拓扑向量空间分配给其 底层的向量空间）都是具体函子。

  • 2. 从 Set 到自身的函子很多，但在构造体\((\mathbf {Set}，id_{\mathbf {Set}})\) 和自身之间只有一个具体函子，即恒等函子。

  • 3. “离散空间函子”和“非离散空间函子”是从 Set 到 Top 的具体函子的示例。

  • 4. 任何在 1 上的具体范畴之间的函子都是具体函子。

如果具体函子在范畴上是同构的，我们称为 具体同构 。比如拓扑空间定义的标准构造：

  • • 邻域

  • • 开集

  • • 闭包算子

  • • 过滤子的收敛性

彼此之间是具体同构的。具体同构的概念引出了一个比范畴同构关系更强的等价关系。例如，假设不存在可测基数，那么 Top（实际上，无论任何构造）可以被认为是与 Rel 的一个全子范畴同构。然而，Top 与这样一个子范畴不是具体同构的，因为在 \(\mathbb {N}\) 上有比 \(\mathbb {N} \) 上的二元 关系（即 \(2^{\aleph _0}\)）更多的拓扑结构（即 \(2^{2^{\aleph _0}}\)）。如果 \(F: (\mathbf {A},U) \to (\mathbf {B},V)\) 是一个具体同构，那么它的逆 \(F^{-1}: (\mathbf {B},V)\to (\mathbf {A},U)\) 也是具体同构。然而，对于具体等价这个命题却不成立。因此，虽然说两个在 \(\mathbf {X} \) 上的具体范畴是具体同构的是有意义的，但说它们是具体等价的则意义较小，因为具体范畴之间的具体等价关系不是对称的。以下命题为构建所有在给定基础范畴上的具体范畴的拟范畴提供了基础。

命题 4.3

  • 1. 具体范畴上的恒同函子是具体同构的。

  • 2. \(\mathbf {X} \) 上具体函子的复合是具体函子。