范畴论

1.5 对偶原理

定义 1.4

对于任何范畴 \(A = (O, \text {hom}_A, \text {id}, \circ )\)，其对偶（或反范畴）记作 \(A^{op} = (O, \text {hom}_{A^{op}}, \text {id}, \circ ^{op})\)，其中 \(\text {hom}_{A^{op}}(A, B) = \text {hom}_A(B, A)\)，且 \(f \circ ^{op} g = g \circ f\)。这意味着 \(A\) 和 \(A^{op}\) 有相同的对象，唯一的不同在于它们的态射的方向。

例子：

  • 1. 如果 \(A = (X, \leq )\) 是一个预序类，被视为一个范畴，那么 \(A^{op} = (X, \geq )\)。

  • 2. 如果 \(A = (M, \cdot , e)\) 是一个幺半群，被视为一个范畴，那么 \(A^{op} = (M, \hat {\cdot }, e)\)，其中 \(a \hat { \cdot } b = b \cdot a\)。

对偶范畴的定义方式使得任何关于 \(A^{op}\) 中对象 \(X\) 的语句 \(S_{A^{op}}(X)\) 都可以转化为关于 \(A\) 中对象 \(X\) 的逻辑等价语句 \(S^{op}_A(X)\)。这种潜在性允许将有关范畴中对象和态射的每个性质 \(P\) 关联到一个关于对象和态射的对偶性质，具体解释如下：考虑 \(A\) 中对象 \(X\) 的性质：\(P_A(X) \equiv \) 对于任何 \(A\) - 对象 \(A\)，存在唯一的 \(A\) - 态射 \(f: A \to X\) (\(X\) 是一个终对象）。

步骤 1: 在 \(P_A(X)\) 中，用 \(A^{op}\) 替换所有 \(A\) 的出现，从而获得性质 \(P_{A^{op}}(X) \equiv \) 对于任何 \(A^{op}\) - 对象 \(A\)，存在唯一的 \(A^{op}\) - 态射 \(f: A \to X\)。

步骤 2: 将 \(P_{A^{op}}(X)\) 转化为逻辑上等价的语句 \(P^{op}_A(X) \equiv \) 对于任何 \(A\) - 对象 \(A\)，存在唯一的 \(A\) - 态射 \(f: X \to A\)。

可以观察到，粗略来说，\(P^{op}_A(X)\) 是通过颠倒 \(P_A(X)\) 中每个箭头的方向和复合态射的顺序得到的。在一般情况下，\(P^{op}_A(X)\) 与 \(P_A(X)\) 不等价。例如，上述性质 \(P_{\text {Set}}(X)\) 当且仅当 \(X\) 是一个单集时成立，而其对偶性质 \(P^{op}_{\text {Set}}(X)\) 当且仅 当 \(X\) 是空集时成立。

以类似的方式，关于范畴中态射的任何性质都会导致关于范畴中态射的对偶性质，正如以下示例所演示的：考虑 \(A\) 中态射 \(A \xrightarrow {f} B\) 的性质：\(Q_A(f) \equiv \) 在 \(A\) 中存在一个 \(A\) - 态射 \(B \xrightarrow {g} A\)，使得 \(A \xrightarrow {f} B \xrightarrow {g} A = A \xrightarrow {\text {id}_A}A\)（即，\(g \circ f = \text {id}_A\)）。

步骤 1: 在 \(Q_A(f)\) 中，用 \(A^{op}\) 替换所有 \(A\) 的出现，从而获得性质 \(Q_{A^{op}}(f) \equiv \) 在 \(A^{op}\) 中存在一个 \(A^{op}\) - 态射 \(B \xrightarrow {g} A\)，使得 \(A \xrightarrow {f} B \xrightarrow {g} A = A \xrightarrow {\text {id}_A}A\)（即， \(g \circ f = \text {id}_A\)）。

步骤 2: 将 \(Q_{A^{op}}(f)\) 转化为逻辑上等价的语句 \(Q^{op}_A(f) \equiv \) 在 \(A\) 中存在一个 \(A\) - 态射 \(A \xrightarrow {g} B\)，使得 \(A \xrightarrow {g} B \xrightarrow {f} A = A \xrightarrow {\text {id}_A}A\)（即，\(f \circ g = \text {id}_A\)）。

例如，上述性质 \(Q_{\text {Set}}(f)\) 当且仅当 \(f\) 是具有非空定义域的单射函数或是空集上的恒等映射时成立，而其对偶性质 \(Q^{op}_{\text {Set}}(f)\) 当且仅当 \(f\) 是满射函数时成立。涉及范畴中对象和态射 \(A, B, …, f, g, …\) 的更复杂的性质 \(P_A(A, B, …, f, g, …)\) 可以通过类似的方式进行对偶。如果 \(P = P_A(A, B, …, f, g, …)\) 对于所有 \(A\) - 对象 \(A, B, …\) 和所有 \(A\) - 态射 \(f, g, …\) 都成立，则我们说范畴 \(A\) 具有性质 \(P\) 或 \(P(A)\) 成立。

对偶原理指出： 每当某一性质 \(P\) 对所有范畴都成立时，那么性质 \(P^{op}\) 也对所有范畴成立 。这一（极为有用的）原理的证明立即可以从以下事实得出，对于所有范畴 A 和性质 P：

  • 1. \((A^{op})^{op} = A\)

  • 2. 当且仅当 \(P^{op}(A)\) 成立时，\(P(A^{op})\) 成立。

例如，考虑性质 \(R = R_A(f)\) 的定义：如果 \(P_A(dom(f))\) 成立，则 \(Q_A(f)\) 成立，其中 P 和 Q 是上文定义的性质。很容易证明对于所有范畴 A，\(R(A)\) 都成立，因此根据对偶原理，\(R^{op}(A)\) 对于所有范畴 A 都成立，其中 \(R^{op}_A(f)\) 的定义为：如果 \(P^{op}_A(cod(f))\)， 则 \(Q^{op}_A(f)\) 成立。

由于这一原理，范畴论中的每个结果都有两种等价的表述（乍看起来可能非常不同）。然而，只需要证明其中一个，因为根据对偶原理，另一个是自动成立的。

通常，概念 \(P\) 的对偶概念 \(P^{op}\) 被表示为”co-P”（例如，等值器和余等值器，良构和共良构，积和余积等等）。如果 \(P\) 等于 \(P^{op}\)，则概念 \(P\) 被称为自对偶。一个例子是” 恒等态射” 的概念。