范畴论

3.3 反射和共反射子范畴

定义 3.5

令\(\mathbf {A}\) 是\(\mathbf {B}\) 的子范畴，\(B\) 为\(\mathbf {B}\)-对象。

  • 1. \(B\) 的一个\(\mathbf {A}\)-反射是\(\mathbf {B}\)-态射\(B\xrightarrow {r}A\), 满足以下万有性质：

    对于任意\(\mathbf {B}\)-态射\(B\xrightarrow {f}A'\), 都存在唯一的\(\mathbf {A}\)-态射\(A\xrightarrow {f'}A'\)，使得以下图标交换

    \[ \xymatrix { B\ar [r]^{r} \ar [dr]_{f } &A\ar [d]^{f'} \\ &A' } \]

  • 2. 如果\(\mathbf {B}\) 中任一对象都存在反射，则\(\mathbf {A}\) 称为 反射子范畴 。

在数学中，一些熟悉的构造，比如某些“完备化”、某些“商构造”和某些结构的“变体”，都可以自然地看作是反射。这些例子中\(\mathbf {A}\) 都是\(\mathbf {B}\) 的一个全子范畴。

例子：

  • 1. 结构变体

    • (a) \(\mathbf {A}=\mathbf {Sym},\mathbf {B}=\textbf {Rel}\), 则\((X,\rho )\) 的反射为\((X,\rho )\xrightarrow {id_{X}}(X,\rho \cup \rho ^{-1})\)

    • (b) \(\mathbf {A}=\mathbf {T_1},\mathbf {B}=\textbf {Top}\), 则\((X,\tau )\) 的反射为\((X,\tau )\xrightarrow {id_{X}}(X,\tau _c)\)

  • 2. 商构造

    • (a) \(\mathbf {A}=\mathbf {Pos},\mathbf {B}=\textbf {Prost}\), 则\((X,\leq )\) 的反射为\((X,\rho )\xrightarrow {p}(X/\approx ,p\times p[\leq ])\)，其中\(p:X\to X/\approx \)

    • (b) \(\mathbf {A}=\mathbf {Ab},\mathbf {B}=\textbf {Grp}\), 则\(G\) 的反射为\(G\xrightarrow {}G/G'\)

    • (c) \(\mathbf {A}=\mathbf {Top_0},\mathbf {B}=\textbf {Top}\), 则\(X\) 的反射为\(X\xrightarrow {} X/\approx \)，其中\(x\approx y\Leftrightarrow \text {the closure of } \{x\} = \text {the closure of } \{y\}\)

    • (d) \(\mathbf {A}=\mathbf {TfAb},\mathbf {B}=\textbf {Ab}\), 则\(G\) 的反射为\(G\xrightarrow {}G/TG\)

  • 3. 完备化

    • (a) \(\mathbf {A}\) 为完备拓扑空间的全子范畴,\(\mathbf {B}=\textbf {Met}\), 则\((X,d)\) 的反射为\((X,d)\hookrightarrow (X^*,d^*)\)

    • (b) \(\mathbf {A}=\mathbf {HComp},\mathbf {B}=\textbf {Tych}\), 则\(X\) 的反射为\(X\hookrightarrow \beta X\)

命题 3.3

反射基本上是唯一的，也就是说

  • 1. 如果\(B\xrightarrow {r} A\),\(B\xrightarrow {\hat {r}}\hat {A}\) 都是\(B\) 的反射，那么存在一个同构\(k:A\to \hat {A}\)，使得下面的图表交换

    \[ \xymatrix { B\ar [r]^{r} \ar [dr]_{\hat {r} } &A\ar [d]^{k} \\ &\hat {A} } \]

  • 2. 如果\(B\xrightarrow {r} A\) 是\(B\) 的反射，\(k:A\to \hat {A}\) 是一个同构，那么\(B\xrightarrow {k\circ r} \hat {A}\) 是 \(B\) 的反射。

命题 3.4

如果\(A\) 是\(B\) 的反射子范畴，以下条件等价：

  • 1. \(A\) 是\(B\) 的全子范畴

  • 2. 对于任意对象\(A\)，\(A\xrightarrow {id_A}A\) 是反射

  • 3. 对于任意对象\(A\)，反射\(A\xrightarrow {r_A}A^*\) 是同构

  • 4. 对于任意对象\(A\)，反射\(A\xrightarrow {r_A}A^*\) 是\(\mathbf {A}\) 中态射

命题 3.5

如果\(A\) 是\(B\) 的反射子范畴，\(r_B:B\to A_B\) 为对象\(B\) 的反射，存在唯一函子\(R:\mathbf {B}\to \mathbf {A}\)，满足一下条件：

  • 1. 对于任意对象\(B\)，\(R(B)=A_B\)

  • 2. 对于任意态射\(f:B\to B'\)，以下图表交换

    \[ \xymatrix { B\ar [d]_{f} \ar [r]^{r_B} & R(B)\ar [d]^{R(f)} \\ B'\ar [r]_{r_{B'}} & R(B')} \]

定义 3.6

满足以上命题的函子称为 反射子

如果 \(\mathbf {A}\) 是 \(\mathbf {A}\) 的 反射子范畴 ，那么 \(\mathbf {A}\) 的 反射子 取决于 反射箭头 的选择，因此通常会有多个不同的反射子。然而，在后面章节中我们将看到，任意两个这样的反射子 实质上是相同的 ，即它们会被证明是“ 自然同 构 ”的。

反射子范畴 的对偶概念是 共反射子范畴 。也就是说，\(\mathbf {A}\) 是 \(\mathbf {B}\) 的 反射子范畴 ，当且仅当\(\mathbf {A}\) 的对偶范畴 \(\mathbf {A}^\text {op}\) 是\(\mathbf {B}\) 的对偶范畴\(\mathbf {B}^\text {op}\) 的反射子范畴。虽然上述每 个说法都是合理的定义，但为了简化阅读，这里提供了一个不涉及对偶范畴的详细对偶表述，严格意义上讲这样做是多余的。

定义 3.7

令\(\mathbf {A}\) 是\(\mathbf {B}\) 的子范畴，\(B\) 为\(\mathbf {B}\)-对象。

  • 1. \(B\) 的一个\(\mathbf {A}\)-共反射是\(\mathbf {B}\)-态射\(A\xrightarrow {c}B\), 满足以下万有性质：

    对于任意\(\mathbf {B}\)-态射\(A'\xrightarrow {f}B\), 都存在唯一的\(\mathbf {A}\)-态射\(A'\xrightarrow {f'}A\)，使得以下图标交换

    \[ \xymatrix { &A'\ar [d]_{f'} \ar [dr]^{f} \\ &A\ar [r]_{c} &B} \]

  • 2. 如果\(\mathbf {B}\) 中任一对象都存在共反射，则\(\mathbf {A}\) 称为 共反射子范畴 。