范畴论

5 自然变换

5.1 自然变换的定义

定义 5.1

给定函子\(F,G:\mathbf {A}\rightarrow \mathbf {B}\)，我们称映射\(\tau :F\rightarrow G\) 为一个 自然变换 ，如果对于任意\(\mathbf {A}\)-对象 A，都对应着一个\(\mathbf {B}\)-态射\(\tau _{A}:F(A)\rightarrow G(A)\)，且对于任意\(\mathbf {A}\)-态射\(A\ra {f}A'\)，有\(Gf\circ \tau _{A}=\tau _{A'}\circ Ff\)，即以下图表交换：

\[ \xymatrix { FA\ar [r]^{\tau _{A}} \ar [d]_{Ff} & GA \ar [d]^{Gf} \\ FA'\ar [r]_{\tau _{A'}} & GA' } \]

例子：

  • 1. 设\(\mathbf {A}\) 是\(\mathbf {B}\) 的一个反射子范畴，其含入函子为\(E\)，\(B_r \xrightarrow {r_B} RB\) 是每个\(\mathbf {B}\)-对象\(B\) 的\(\mathbf {A}\)-反射箭头，\(R : B \to A\) 是相关的 反射子 。则\(r = (r_B)_{B \in \text {Ob}(\mathbf {B})}\) 是一个自然 变换：\(\text {id}_\mathbf {B} \xrightarrow {r} E \circ R\)。

  • 2. 设\(U : \textbf {Grp} \to \textbf {Set}\) 是遗忘函子，\(S : \textbf {Grp} \to \textbf {Set}\) 是“平方函子”，定义为\(S(G \xrightarrow {f} H) = G^2 \xrightarrow {f^2} H^2\)。对于每个群\(G\)，其乘法是一个函数\(\mu _G : G^2 \to G\)。族\(\mu = (\mu _G)\) 是从\(S\) 到\(U\) 的自然变换。自然性条件简单地解释为对于任一群同态\(G \xrightarrow {f} H\) 和任意\(x, y \in G\)，都有\(f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y)\)。因此，群中的“乘法”可以看作是一种自然变换。同样，对于任何类型的代数，每个定义的关系都可以被看作是适当函子之间的自然变换。

  • 3. 设\(( \hat {\hat {\ }} ) : \textbf {Vec} \to \textbf {Vec}\) 是向量空间的二阶对偶函子，定义如下：

    \[ \textbf {Vec}\xrightarrow {(\hat {\hat {\ }})} \textbf {Vec} = (\textbf {Vec}^{\text {op}})^{\text {op}}\ra {(\hat {\ })^{\text {op}}}\textbf {Vec}^{\text {op}}\ra {(\hat {\ })}\mathbf {Vec} \]

    其中\((\hat {\ })^\text {op}\) 是关于向量空间的对偶函子的对偶，\(\id _{\mathbf {Vec}}\) 是\(\mathbf {Vec}\) 上的恒等函子。然后，线性变换\(\mu _V : V \to \hat {\hat {V}}\)，定义为\((\mu _V(x))(f) = f(x)\)，产生了一个自然变换\(\text {id}_{\text {Vec}} \xrightarrow {\mu } (\hat {\hat {\ }})\)。

  • 4. 对每个拓扑空间\(X\)，Hurewicz 同态\(\Phi _n(X) : \pi _n(X) \to H_n(X)\) 是从第\(n\) 个同伦函子\(\pi _n : \text {Top} \to \text {Grp}\) 到第\(n\) 个同调函子\(H_n : \text {Top} \to \text {Grp}\) 的一个自然变换。

  • 5. 如果\(B \xrightarrow {f} C\) 是\(\mathbf {A}\)-态射，则

    \[ \begin {aligned} \text {hom}_\mathbf {A}(C, -) \xrightarrow {\Phi _f} \text {hom}_\mathbf {A}(B, -) & \quad \text {定义} \Phi _f(g) = g \circ f, \\ \text {hom}_\mathbf {A}(-, B) \xrightarrow {\Psi _f} \text {hom}_\mathbf {A}(-, C) & \quad \text {定义} \Psi _f(g) = f \circ g, \end {aligned} \]

    是自然变换。

  • 6. 设\(U:\Sigma \text {-}\mathbf {Seq} \to \textbf {Set}\) 是遗忘函子。对于每个\(\sigma \in \Sigma \)，以及每个接受子\(A = (Q,\delta , q_0, F)\)，令\(\hat {\sigma }_A\) 是函数\(\delta (-, \sigma ) : Q \to Q\)。则\(\hat {\sigma } = (\hat {\sigma }_A) : U \to U\) 是一个自然变换。

补充 5.1: 有限维向量空间的对偶与二阶对偶的自然变换解释

考虑实数域 \(\mathbb {R}\) 上的二维实向量空间 \(V = \mathbb {R}^2\)。对于每个向量 \(v = [x\ y]^\mathsf {T}\in V\)，我们定义一个线性函数 \(f_v: V \to \mathbb {R}\)，其中：

\[ f_v([a\ b]^\mathsf {T}) = ax + by \]

这个函数 \(f_v\) 接受一个向量 \([a\ b]^\mathsf {T}\)，然后返回与 \(v\) 的点积 \(ax + by\)。

记 \(V^*\) 为 \(V\) 的对偶空间，其元素为\(V\) 中的线性函数\(f_v:V \to \mathbb {R}\)。设\(\{v_1,v_2\}\) 为向量空间\(V\) 的一组基，自然可以定义对偶空间\(V^*\) 的一组基\(\{f_1,f_2\}\)，其中\(f_i(v_j)=\delta _{ij}\)（Kronecker delta） 。对偶空间\(V^*\) 的元素\(f_v\) 可以表 示为对偶基的线性组合，即可以用二维向量表示。

同理，二阶对偶空间\(V^{**}\) 的 元素是对偶空间的线性函数 \(V^*\to \mathbb {R}\)，设二阶对偶空间的一组基为\(\{g_1,g_2\}\), 则有\(g_i(f_j)=\delta _{ij}\)。

现在，我们考虑一个映射 \(\Phi : V \to V^{**}\)，对于任一\(v \in V\)，\(\Phi (v) \in V^{**}\), 也就是说 \(\Phi (v)\) 是对偶空间\(V^*\) 的线性函数，即\(\Phi (v):V^* \to \mathbb {R}\)，可以定义为\(\Phi (v)(f)=f(v)\)。

简而言之，我们通过构造 \(f_v\) 和对应的 \(\Phi (v)\)，将向量空间 \(V\) 中的每个向量映射到二阶对偶空间 \(V^{**}\) 中的线性函数。这个过程保持了线性结构，因此是一个自然变换。

定义 5.2

设\(G,G'\) 为范畴\(\mathbf {A},\mathbf {B}\) 之间的函子，记自然变换\(\tau :G\to G'\)。

  • 1. 对任意函子\(F:\mathbf {C}\to \mathbf {A}\), 有自然变换\(\tau F=G\circ F \to G'\circ F\)，满足:

    \[ (\tau F)_C = \tau _{FC} \]

  • 2. 对任意函子\(H:\mathbf {B}\to \mathbf {D}\), 有自然变换\(H\tau =H\circ G \to H\circ G'\)，满足:

    \[ (H\tau )_A = H\tau _{A} \]

例子：

设\(S^2:\mathbf {Set}\to \mathbf {Set}\) 是平方函子，\(\Delta :id\to S^2\) 为自然变换，对任意集合\(X\)，有\(\Delta _X:X\to X^2\)，对应着映射\(x\mapsto (x,x)\), 则：

  • 1. \(S^2 \Delta :S^2 \to S^2 \circ S^2\)，对应着映射\((x,y)\mapsto ((x,x),(y,y))\)

  • 2. \(\Delta S^2:S^2 \to S^2 \circ S^2\)，对应着映射\((x,y)\mapsto ((x,y),(x,y))\)